量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不处于 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆qq定理”。本文证明一种生活定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态就有 才能克隆qq的,证明原来量子态可克隆qq的条件为,实际上认为量子态才能克隆qq,“量子态不可克隆qq定理”名不符虽然。本文进一步证明,处于无穷多的满足一种生活另另另一个 条件,否则“量子态不可克隆qq定理”应当改为“量子态可克隆qq定理”。2.表示另另另一个 正交的量子态才能克隆qq,对于的非正交态的情况报告,现有理论不才能 讨论,本文完整性讨论一种生活情况报告。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态才能按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总才能找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆qq的条件。4. 量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会原因分析分析 自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却才能将纯态波函数变加在任意波函数,原来的算符无需可能 处于。5. 量子态克隆qq的真正难题没了于理论上否是才能克隆qq,而在于克隆qq过程中线性叠加态不可输入和不可输出,一种生活无需可能 性与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。6. 几瓶实验证明,微观粒子的单量子态就有 才能克隆qq的,说量子态不可克隆qq毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的就有 光子的单个偏振态,它们就有 才能克隆qq的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”是另另另一个 概念含糊、矛盾重重、完整性错误的命题。建立在一种生活定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不处于。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆qq算符,量子态不可克隆qq定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆qq定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆qq定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出一种生活著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现处于有些难题。“量子态不可克隆qq定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不处于的。

  从“量子态不可克隆qq定理”的证明过程才能看出,该定理的前提是假定任意量子态都才能克隆qq。否则给出另外另另另一个 量子态才能克隆qq的条件为,不满足这另另另一个 条件的态才是不可克隆qq的。代表另另另一个 态正交,表示另另另一个 态不正交,它们就有 才能克隆qq的。否则“量子态不可克隆qq定理”名不符虽然!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆qq算符定义,对于任意量子态,处于无穷多的满足的条件。对于的情况报告,现有理论认为它原因分析分析 ,是另另另一个 平庸解,不才能 讨论价值。本文指出一种生活一定原因分析分析 ,并对一种生活情况报告进行完整性讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都才能表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总才能找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆qq条件。否则“量子态不可克隆qq定理”实际上应当改成“量子态不可克隆qq定理”。

  有些文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆qq定理”,然而对哪些是未知的量子态,却不才能 明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆qq定理”的说法在字面上不才能 来太满不才能 来太满 有难题的,不可能 另另另一个 量子态是未知的,真不知道原型和模板,又为什才能克隆qq呢?比如对于叠加态,不可能 已知,一种生活态就已知。不可能 任意,一种生活态就未知。要克隆qq一种生活态首先还要知道。这是先决条件,未知态不可克隆qq的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆qq算符的定义,即使未知,仍然才能找到无穷多的,使之满足的条件,否则“未知量子态不可克隆qq定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会原因分析分析 自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆qq算符作用在任意波函数上,其形式不变。将一种生活算符作用在另另另一个 纯态上,却才能将它变成任意波函数,原来的算符是不处于的。事实上量子克隆qq算符不才能 来太满不才能 来太满 另另另一个 抽象符号,不才能 具体形式。不可能 其定义是自相矛盾的,在数学上根本无需可能 找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都还要有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆qq的真正难题没了于理论上否是才能克隆qq,而在于克隆qq过程要怎样输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量原因分析分析 波函数崩塌。量子态克隆qq过程首先还要输入量子态,而输入过程才才能看成一种生活测量操作。否则量子叠加态是不可输入的,不可能 一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在一种生活意义上,谈论线性叠加态的克隆qq是不才能 意义,但它与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆qq定理”显然与事实不符。几瓶实验证明,微观粒子的单量子态就有 才能克隆qq的。激光器不但才能克隆qq单个光子,否则才能大批量地克隆qq各种光子。连续光谱激光器不但才能克隆qq一种生活单光子,否则才能通过调整参数,来几瓶克隆qq各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就不可能 是另另另一个 相当心智心智性成熟 是什么图片 图片 的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的就有 光子的单个偏振态,而就有 所谓的线性叠加态,它们就有 才能克隆qq的。然而“量子态不可克隆qq定理”给人的一般印象却是,任何量子态就有 可克隆qq,这是不真实的。

  实际量子态的克隆qq涉及相互作用,是另另另一个 非常复杂性的过程,就有 用Wootters定义的一种生活简单算符就能表示的。“量子态不可克隆qq定理”是另另另一个 概念含糊、矛盾重重、完整性错误的命题,不但毫无意义,否则严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  否则本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”不成立,量子通讯所谓的具否是条件保密性的物理学基础不处于。

  二.“量子态不可克隆qq定理”的证明

  “量子态不可克隆qq定理”的证明虽然非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆qq模板的粒子处于任意态,另外另另另一个 粒子处于标准的纯态。Wootters和Zurek引入另另另一个 克隆qq量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式要怎样,Wootters不才能 说明,不才能根据具体的情况报告选折 。与图片复印的过程比较,算符相当于复印机,相当于要复印的图片,相当于白纸。

  采用相同的纯态,将克隆qq算符对另外另另另一个 任意态作用,按照(1)式就有 :

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有另另另一个 解,。不可能 这另另另一个 条件满足,就才能克隆qq。不可能 不满足,就不可克隆qq。现有理论讨论了的情况报告,对的情况报告不才能 讨论,本文重点对的情况报告进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态才能克隆qq。即处于另另另一个 算符,才能把纯态变成态,否则讨论在哪些情况报告下才能克隆qq的难题。原因分析分析 正交态是才能克隆qq的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆qq机,它才能克隆qq 态,就一定才能克隆qq与态正交的态,但不才能克隆qq与不正交并肩又有的态。

  否则按照一种生活证明,量子态就有 不才都都可以克隆qq,不才能 来太满不才能 来太满 有选折 性地克隆qq。对于不同的量子态,还要不同的克隆qq机,亲戚亲戚他们才能制造不同的克隆qq机,来克隆qq不同的量子态。否则所谓的“量子态不可克隆qq定理”名不符虽然,实际上应当改成“通用量子态克隆qq机不处于定理”。

  三.“量子态不可克隆qq定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆qq算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆qq算符对波函数的作用满足以下关系:

这原因分析分析 不改变任意波函数,即,但却才能将纯态波函数变成,即原因分析分析 是不变算符,即。不可能 也是任意的,与才能完整性不一样,原因分析分析 就有 不变算符,应当将写为:

不可能 ,就有 ,否则量子克隆qq算符的定义自相矛盾,是无需可能 处于的。

  亲戚亲戚他们才能举另另另一个 具体的例子。假设要克隆qq氢原子的第一激发态,另另另一个 合理的做法不才能 来太满不才能 来太满 ,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

不可能 式正交的,按照(2)的定义,是才能克隆qq的,克隆qq过程是:

显然无需可能 找到另另另一个 算符,能使 并肩成立,否则(8)式无需可能 成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都复杂性性。要将另另另一个 纯态波函数变成另外另另另一个 波函数保持不变,又才能将任意纯态波函数变成态波函数。在一种生活算符基础上证明“量子态不可克隆qq定理”是不才能 意义的。

  3. 2 量子态克隆qq算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上不才能 来太满不才能 来太满 可能 不成立。举另另另一个 简单例子,氢原子的跃迁过程满足有些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数还要满足。否则从基态到诸如的激发态是无需可能 的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是才能克隆qq的。

  事实上,量子态的克隆qq是另另另一个 非常复杂性的难题,根本无需可能 通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆qq算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆qq定理”毫无意义。

  3. 2 处于无穷多的可克隆qq非正交态

  以下证明对于,仍然能否是。按照(4)式,一种生活非正交态仍然才能克隆qq。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下另另另一个 基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选折 本征值的本征函数处于正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学才都都可以严格证明,任意量子力学定态波函数都才能表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上另另另一个 性质,亲戚亲戚他们来重新讨论“量子态不可克隆qq定理”的证明。将系统的任意另另另一个 波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

不可能 ,(13)式变成:

要使(14)式成立,还要:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数不可能 是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余另另另一个 方程,有另另另一个 未知数,唯一选折 。解方程得。否则对于的情况报告,对于任意波函数,总才能找到另外另另另一个 波函数与它正交。按照Wootters对克隆qq算符的定义,它们就有 才能克隆qq的。

  对于的情况报告,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余另另另一个 方程,选折 另另另一个 未知数,就有 无穷多种辦法 。要是才能 来太满不才能 来太满 说对于,能否是无穷多个与之正交,因而通用量子态克隆qq机处于。

  对于不正交,的情况报告,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的另另另一个 方程解得,否则不才能才不可能 。原因分析分析 一种生活态才能克隆qq,但一台克隆qq机不才能克隆qq另另另一个 量子态。

  对的情况报告,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的另另另一个 方程,选折 另另另一个 未知数,原则上否是穷多个解。不可能 它们都才能满足(4)和(16)式,按照定义就有 才能克隆qq的。

  以下举另另另一个 具体例子,比如,从第另另另一个 式子得到。选折 ,按照(20)式,可得以下波函数:

这另另另一个 波函数是非正交的,但仍然满足可克隆qq条件,才能用同一台克隆qq机克隆qq。

  任意选折 的值,才能得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况报告下,“量子态不可克隆qq定理”不成立。亲戚亲戚他们总才能找到无穷多的,使它们满足可克隆qq的条件。

  3. 3 克隆qq算符作用于线性叠加态原因分析分析 矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是才能克隆qq的。在(4)式的导出过程中,能否是单态,才能否是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆qq算符作用其上,才能得到一种生活结果。第一种生活是克隆qq算符先对单个态作用,即:

第二种克隆qq算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是才能实现的,理由是基矢才能克隆qq的。(24)式则是不可实现,但不才能 说明原因分析分析 。

  一种生活看法虽然很糙道理,但不才能 找到难题的本质。不可能 按照克隆qq算符的定义,以上一种生活计算辦法 就有 合理的。亲戚亲戚他们不才能说哪一种生活对哪一种生活错,从逻辑上才才能认为(24)式不才能 错。事实上,(11)、(21)和(22)式就有 叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们就有 才能克隆qq的。

  以下来讨论(24)式无需可能 成立的原因分析分析 。才能将(24)式看成克隆qq算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,才能测量的是波函数的平方,就有 :

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是无需可能 改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然处于。产生难题的本质原因分析分析 在于,如前文所述,克隆qq算符的定义(1)式一种生活不才能 来太满不才能 来太满 矛盾的。一种生活矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用不才能 来太满不才能 来太满 另另另一个 例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆qq难题,还要先了解线性叠加态的真实物理意义。量子力学学另另另一个 统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由另另另一个 态组成,出現的几率是态出現的几率是。它一种生活原因分析分析 另另另一个 态才能并肩出現,不才能 来太满不才能 来太满 认为在任意时刻只出現其中的另另另一个 态。

  比如对于氢原子中的另另另一个 电子,它无需可能 并肩即处于基态,又处于第一激发态。这另另另一个 情况报告处于能量差,从基态进入激发态是还才能量输入的。亲戚亲戚他们无需可能 并肩克隆qq氢原子的这另另另一个 态,不才能克隆qq其中的另另另一个 态。在一种生活意义上,谈论线性叠加态的克隆qq一种生活不才能 来太满不才能 来太满 不才能 意义的。

  不可能 按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的另另另一个 态。比如对于叠加态,任何单次测量不才能得到其中的另另另一个 态,无需可能 并肩得到另另另一个 态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  否则量子态克隆qq真正的难题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的层厚,为了才能克隆qq另另另一个 量子叠加态,首先还要进行测量,以了解一种生活态的情况报告。克隆qq过程还要输入和输出量子态,而输入和输出才才能看成是一种生活测量。不可能 测量原因分析分析 叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是无需可能 的。

  在实际的过程中,量子态的克隆qq涉及复杂性的相互作用,就有 用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆qq定理”处于不才能 来太满的难题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上就有 才能用克隆qq的,亲戚亲戚他们应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选折 本征值的单态就有 可克隆qq的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆qq将得到其中的另另另一个 单态,多次克隆qq结果得到态的几率为

  不才能原来理解,才能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆qq算符一种生活不才能 来太满不才能 来太满 自相矛盾的。将克隆qq算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却才能将变成任意。一种生活自相矛盾的算符在数学上是无需可能 处于的,原因分析分析 “量子态不可克隆qq定理”成为另另另一个 含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆qq算符的定义,满足的量子态就有 才能克隆qq的。而在实际的过程中,满足这另另另一个 条件的量子态却一种生活才能克隆qq。否则“量子态不可克隆qq定理”不处于。

  不可能 考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总才能找到另另另一个 波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了才能找到无数的波函数与它正交外,还才能找到无数个波函数,使它们的积分满足。否则“量子态不可克隆qq定理”实际上应当称为“量子态可克隆qq定理”。

  将克隆qq算符作用到量子叠加态,会原因分析分析 矛盾的结果。这名 种生活原因分析分析 叠加态不可克隆qq,不才能 来太满不才能 来太满 克隆qq算符的定义一种生活有难题。量子态克隆qq的真正难题在于,叠加态的输入和输出是无需可能 的,一种生活无需可能 性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看完中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释难题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲戚亲戚他们迄今为止并未形成共识。量子力学发展的一种生活二元情况报告不仅带来认识论方面的误导,否则辦法 备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的难题”,物理学家还要“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,正确处理量子观念的滥用原因分析分析 的认识论上的难题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的一种生活看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是另另另一个 科学哲学难题,但现在它不可能 就有 纯理论难题。它不可能 越界进入技术领域,否则深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都才能看完哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有另另另一个 奇怪的说法,即另另另一个 量子态在不才能 被测量事先亲戚亲戚他们对它哪些不才能 来太满不才能 来太满 能说。它是处于叠加态,而就有 选折 态。波尔有句名言:另另另一个 难题在不才能 被观察事先不才能说是另另另一个 难题。具体地说,对于另另另一个 自旋为的粒子,在不才能 进行测量事先,不才能说它的自旋为。不可能 按照波函数的叠加公式,它或许不可能 处于态。再比如对于另另另一个 水平偏振的光子,在不才能 被测量事先,亲戚亲戚他们不才能说它是水平偏振的,不可能 按照波函数的线性叠加公式,它不可能 是垂直偏振。一种生活看法与实际完整性不符,它不可能 破坏物理守恒规律,原因分析分析 荒诞的结果。

  比如甲向乙发射另另另一个 自旋为粒子,乙方接受到的一定是另另另一个 自旋为的粒子。不可能 角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是无需可能 改变的。同样,甲向乙发射另另另一个 水平偏振的光子,不可能 乙用水平偏振器测量,一种生活光子就有通过,说明一种生活光子的偏振在运动过程中不才能 改变。原因分析分析 是光的偏振方向不才能 来太满不才能 来太满 电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向无需改变。不可能 用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。原因分析分析 是偏振器使光子的电场方向改变,而就有 该光子不才能 选折 的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是几瓶粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的另另另一个 系统。在任意时刻,量子体系要么处于态,要么处于情况报告,无需可能 即处于情况报告又处于情况报告,不才能 来太满不才能 来太满 不可能 并肩处于态。否则这名 种生活解释是等价的,不才能 来太满不才能 来太满 说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆qq也是不才能 意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的就有 单量子态,无需可能 是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,无需可能 是叠加态。“量子态不可克隆qq定理”是另另另一个 完整性不靠谱的理论,它把克隆qq过程用另另另一个 不才能 简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完整性不符。在真实的物理学中,要克隆qq另另另一个 量子态涉及复杂性的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿倒入复印机,一按键盘就了事。在哪些基本难题不才能 搞清楚事先,就声称量子态不可克隆qq。甚至明明知道单量子态和正交态才能克隆qq,明明知道激光器不才能 来太满不才能 来太满 光子克隆qq机,却仍然声称量子态不可克隆qq,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量事先微观粒子才能并肩处于多重情况报告,用测量原因分析分析 波函数崩塌来解释一切。以一种生活完整性错误的理论为基础,技术开发必然原因分析分析 失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是另另另一个 典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯原来重要的事情寄托在一种生活完整性不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则不可能 是另外另另另一个 例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的不可能 。按照量子力学的统计系综解释,任哪天刻另另另一个 微观粒子不才能处于某个选折 的情况报告,无需可能 处于叠加态,线性叠加不才能 来太满不才能 来太满 一种生活统计平均的表示辦法 。按照量子力学的测量理论,任哪天刻另另另一个 微观粒子才能处于叠加态,但测量原因分析分析 波函数崩塌。否则叠加态既不才能输入不才能 来太满不才能 来太满 能输出,量子计算机就不可能 是另另另一个 空头理论上的东西,在现实中难以实现。一种生活难题之类 与量子计算机的消相干难题,但又有不同。从技术上说消相干是不可能 的,但叠加态的输入和输出是无需可能 的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称不可能 做出量子计算机,否则就有 真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲戚他们不可能 不才能 来太满不才能 来太满 利用微观粒子的另另另一个 分立情况报告做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它不才能 来太满不才能 来太满 对传统电子计算机的模拟,而就有 真正利用了叠加态,才能进行叠加态并行计算的量子计算机。不才能 来太满不才能 来太满 量子计算机专家不可能 还不才能 认识到一种生活点,不可能 说有些人知道一种生活点,但不无需说出来罢了。关于一种生活难题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,302-303.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,306年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释难题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.